Question

如图所示，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=

3

2

，则椭圆方程是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由a²+4b²-4=0，

a2-b2

a2

=

3

4

，由此能求出椭圆方程．

解答： 解：过A、B的直线方程为

x

2

+y=1．由题意得有唯一解，
∴（b²+

1

4

a²）x²-a²x+a²-a²b²=0有唯一解，
所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），
故a²+4b²-4=0．
又因为e=

3

2

，即

a2-b2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²．从而a²=2，b²=

1

2

．
故所求的椭圆方程为

x2

2

+2y²=1．
故答案为：

x2

2

+2y²=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆注意的合理运用．