Question

f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-20|，1≤x≤20，则f（1）=

 

，f（5）=

 

，f（20）=

 

，当x=

 

时，f（x）最小，最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：f（1）=1+2+3+4+5+…+19=

19×20

2

=190，f（5）=4+3+2+1+0+1+2+…+15=10+

15×16

2

=130，f（20）=19+18+17+…+1+0

19×20

2

=190，f（x）=（2n-20）x+210-n（n+1），如果n≥10，则有：f（x）≥（2n-20）n+210-n（n+1）=n²-21n+210，这个二次函数对称轴在n=10.5，当n取10和11的时候都可以得到最小值是100．

解答： f（1）=1+2+3+4+5+…+19=

19×20

2

=190，
f（5）=4+3+2+1+0+1+2+…+15=10+

15×16

2

=130，
f（20）=19+18+17+…+1+0

19×20

2

=190，
由题意知对任意1到20之间的整数n，当 n≤x＜n+1 时，
f（x）表达式中，前n个绝对值里面是正的，后20-n个绝对值里面是负的，
∴f（x）=nx-

(1+n)n

2

-（20-n）x+

(n+1+20)(20-n)

2

=（2n-20）x+210-n（n+1），
如果n＜10也就是 2n-20＜0，则有：
f（x）＞（2n-20）（n+1）+210-n（n+1）=n²-19n+190，
这个二次函数的对称轴是n=9.5，
∴n=9的时候最小值是100，但是取不到，
如果n≥10，则有：
f（x）≥（2n-20）n+210-n（n+1）=n²-21n+210，
这个二次函数对称轴在n=10.5，
∴当n取10和11的时候都可以得到最小值是100．
故答案为：190，130，190，10或11，100．

点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意绝对值性质的合理运用．