Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-x+2alnx有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂
（Ⅰ）求实数a的取值范围，并写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）判断方程：f（x）=（a+1）x根的个数并说明理由；
（Ⅲ）利用消元法表示出函数f（x₂），利用导数研究函数f（x₂）的单调性，即可证明不等式．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数的极值和导数之间关系求出a的取值范围，根据函数单调性和导数之间的关系即可写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，即可判断方程：f（x）=（a+1）x根的个数；
（Ⅲ）证明：f（x₂）＞

-3-2ln2

8

．

解答： 解：（Ⅰ）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-1+

2a

x

=

x2-x+2a

x

，
且f′（x）=0有两个不同的根，∴x²-x+2a=0，即2a=-x²+x且x＞0有两个交点．
2a=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

∈（0，

1

4

）有两个交点
求得：解得0＜a＜

1

8

，
∴a的取值范围是（0，

1

8

）．
 又x₁=

1- 1-8a

2

，x₂=

1+ 1-8a

2

，
∴0＜x＜x₁或x＞x₂，f′（x）＞0，
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，
∴f（x）单调增区间为（0，

1- 1-8a

2

）和（

1+ 1-8a

2

，+∞）．
单调减区间为（

1- 1-8a

2

，

1+ 1-8a

2

）．
（Ⅱ）由已知方程：f（x）=（a+1）x，即

1

2

x²-x+2alnx-ax-x=0
∴令m（x）=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx，
m′（x）=x-（a+2）+

2a

x

=

x2-(a+2)x+2a

x

=

(x-a)(x-2)

x

，

x	（0，a）	a	（a，2）	2	（a，+∞）
m′（x）	+	0	-	0	+
m（x）		极大值		极小值

m（a）=-

1

2

a²-2a+2alna＜0，m（2）=-2-2a+2aln2＜0，
x→0时，m（x）→-∞；
x→+∞时，m（x）→+∞；
∴m（x）有且只有1个零点，
∴原方程有且只有一个根．
（III）由（Ⅰ）可知

x1+x2=1 x1x2=2a

，
则2a=（1-x₂）x₂，
并且由

1+ 1-8a

2

得：x₂∈（

1

2

，1），
∵f（x）=

1

2

x²-x+2alnx=

1

2

x²-x+x₁x₂lnx，
f（x₂）=

1

2

x₂²-x₂+（x₂-x₂²）lnx₂，
则f′（x₂）=x₂-1+（1-2x₂）lnx₂+

x2-x22

x2

=(1-2x2)lnx2，其中x₂∈（

1

2

，1），
∴f′（x₂）＞0，函数f（x）在（

1

2

，1）递增；
∴f（x）＞f（

1

2

）=

1

2

×

1

4

-

1

2

+(

1

2

-

1

4

)•ln

1

2

=

-3-2ln2

8

．
故f（x₂）＞

-3-2ln2

8

．

点评：本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数的极值和单调性与导数之间的关系．综合性较强，运算量较大，属于难题．