Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），设直线AB：2x-y-1=0切抛物线于点A，交y轴于点B，且D为AB中点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若过点D作直线l交抛物线于不同的两点M，N，直线BM，BN分别交抛物线于另一点P，Q，是否存在直线l，使△DPQ的面积为

1

8

，若存在，求出所有符合条件的直线l的方程；否则，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由

y=2x-1 x2=2py

，得x²-4px+2p=0，由此利用根的判别式能求出抛物线方程．
（II）由已知得A（1，1），B（0，-1），D(

1

2

，0)，设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l：y=k(x-

1

2

)，由

y=k(x- 1 2 ) x2=y

⇒x2-kx+

1

2

k=0，得x1x2=

k

2

，x1+x2=k，设直线BM方程为y=

y1+1

x1

x-1，从而p(

1

x1

，

1

x12

)，同理Q(

1

x2

，

1

x22

)，由此能求出直线l的方程．

解答： （本题满分15分）
解：（Ⅰ）由

y=2x-1 x2=2py

，得x²-4px+2p=0，
∵直线AB：2x-y-1=0切抛物线于点A，
∴△=16p2-8p=0⇒p=

1

2

，
得抛物线方程为x²=y． …（5分）
（II）解方程组

y=2x-1 x2=y

得切点A（1，1），
解方程组

y=2x-1 x=0

，得B（0，-1），∴D(

1

2

，0)，
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l：y=k(x-

1

2

)，
由

y=k(x- 1 2 ) x2=y

⇒x2-kx+

1

2

k=0，得x1x2=

k

2

，x1+x2=k，
设直线BM方程为y=

y1+1

x1

x-1，
则

y= y1+1 x1 x-1 x2=y

⇒x2-

y1+1

x1

x+1=0，
所以x₁x_p=1，xp=

1

x1

，p(

1

x1

，

1

x12

)，同理Q(

1

x2

，

1

x22

)，
∴kPQ=

1 x12 - 1 x22

1 x1 - 1 x2

=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=2，…（10分）
则设PQ方程为y-

1

x12

=2(x-

1

x1

)，即y=2x-

2

x1

+

1

x12

，
由

y=2x- 2 x1 + 1 x12 x2=y

⇒x2-2x+

2

x1

-

1

x12

=0，
∴|PQ|=

5

4- 8 x1 + 4 x12

=2

5

|1-

1

x1

|，
点D到直线PQ的距离d=

|1- 2 x1 + 1 x12 |

5

=

(1- 1 x1 )2

5

，
∴S△DPQ=

1

2

•2

5

|1-

1

x1

|•

(1- 1 x1 )2

5

=

1

8

⇒1-

1

x1

=±

1

2

，
得x1=

2

3

，y1=

4

9

；x2=2，y2=4，
即M(

2

3

，

4

9

)或M（2，4），kMD=

8

3

，
∴直线l的方程为8x-3y-4=0．…（15分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．