Question

18．已知函数$f（x）=\frac{a}{x-2}+lnx$，其中a∈R．
（Ⅰ）给出a的一个取值，使得曲线y=f（x）存在斜率为0的切线，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）存在极小值和极大值，证明：f（x）的极小值大于极大值．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）=0在定义域上有解即可；
（II）判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值，再利用作差法计算极值的差即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0，且x≠2}，
f′（x）=-$\frac{a}{（x-2）^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-2）^{2}-ax}{x（x-2）^{2}}$．
令f′（x）=0得x²-（4+a）x+4=0．
若曲线y=f（x）存在斜率为0的切线，则方程x²-（4+a）x+4=0在定义域{x|x＞0，且x≠2}上有解，
不妨设x=1是方程x²-（4+a）x+4=0的解，则a=1．
∴当a=1时，曲线y=f（x）存在斜率为0的切线．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f′（x）=-$\frac{a}{（x-2）^{2}}$+$\frac{1}{x}$．
①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在区间（0，2）和（2，+∞）上单调递增，不合题意．
②当a＞0时，令f′（x）=0，得x²-（4+a）x+4=0．
△=（4+a）²-16=a²+8a＞0，
∴方程必有两个不相等的实数解x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂．
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=a+4}\\{{x}_{1}{x}_{2}=4}\end{array}\right.$，∴0＜x₁＜2＜x₂．
列表：

x	（0，x1）	x1	（x1，2）	（2，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

∴f（x）存在极大值f（x₁），极小值f（x₂）．
f（x₂）-f（x₁）=（$\frac{a}{{x}_{2}-2}$+lnx₂）-（$\frac{a}{{x}_{1}-2}$+lnx₁）=a（$\frac{1}{{x}_{2}-2}-\frac{1}{{x}_{1}-2}$）+（lnx₂-lnx₁）．
∵0＜x₁＜2＜x₂，且a＞0，
∴a（$\frac{1}{{x}_{2}-2}-\frac{1}{{x}_{1}-2}$）＞0，lnx₂-lnx₁＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）的极小值大于极大值．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数极值的计算，属于中档题．