Question

3．已知变换T把平面上的所有点都垂直投影到直线y=x上．
（1）试求出变换T所对应的矩阵M．
（2）求直线x+y=2在变换T下所得到的图形．

Answer 1

分析 （1）根据题意设点P（x₀，y₀），过P作y=x的垂线，垂足P'（x₁，y₁），就是P的映射，求得PP'的方程，将y=x代入直线方程，求得x₁和y₁，将其写成矩阵乘积的形式，即可求得矩阵M；
（2）直线x+y=2与直线y=x垂直，故其投影退化为一点．

解答 解：（1）设点P（x₀，y₀），过P作y=x的垂线，垂足P'（x₁，y₁），就是P的映射，
PP'的斜率-1，方程y-y₀=-（x-x₀）=-x+x₀，
y=x代入：x-y₀=-x+x₀，整理得：2x=x₀+y₀，x₁=$\frac{{x}_{0}}{2}$+$\frac{{y}_{0}}{2}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）×$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$
y₁=x₁=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）×$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$
∴$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$×$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$
∴M=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$；
（2）这是一个退化的线性变换，直线x+y=2与直线y=x垂直，故其投影退化为一点．

点评 本题考查矩阵变换及矩阵投影变换，考查分析问题及计算能力，属于中档题．