Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-bx）}{x}$（b∈R）．若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{5}{6}$）
• B． （-∞，$\frac{8}{3}$）
• C． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$）
• D． （$\frac{8}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 求出f′（x），问题转化为b＜$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$在[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出b的范围即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-bx）}{x}$=e^x（x-b），
∴f′（x）=e^x（x-b+1），
若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
则若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得e^x（x-b）+xe^x（x-b+1）＞0，
即b＜$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$在[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
则g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{（x+1）}^{2}}$＞0，
g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]递增，
∴g（x）_最大值=g（2）=$\frac{8}{3}$，
故b＜$\frac{8}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．