Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n•a_n+1=（

1

2

）ⁿ，记T_2n为{a_n}的前2n项的和，b_n=a_2n+a_2n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）判断数列{b_n}是否为等比数列，并求出b_n；
（Ⅱ）求T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和由等比数列的前n项和公式求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵an•an+1=(

1

2

)n，∴an+1•an+2=(

1

2

)n+1，
∴

an+2

an

=

1

2

，即an+2=

1

2

an…（2分）
∵b_n=a_2n+a_2n-1，∴

bn+1

bn

=

a2n+2+a2n+1

a2n+a2n-1

=

1 2 a2n+ 1 2 a2n-1

a2n+a2n-1

=

1

2

所以{b_n}是公比为

1

2

的等比数列．…（5分）
∵a₁=1，a1•a2=

1

2

，∴a2=

1

2

⇒b1=a1+a2=

3

2

∴bn=

3

2

×(

1

2

)n-1=

3

2n

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an+2=

1

2

an，所以a₁，a₃，a₅，…是以a₁=1为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
a₂，a₄，a₆，…是以a2=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列  …（10分）
∴T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=3-

3

2n

…（12分）

点评：本题考查利用定义证明数列是等比数列及等比数列前n项和公式，考查数列分组求和的方法以及运算能力，属中档题．