Question

设二次函数的图像过原点，，的导函数为，且，
（1）求函数，的解析式；
（2）求的极小值；
（3）是否存在实常数和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1），；（2）的极小值为；（3）存在这样的实常数和，且

试题分析：（1）由二次函数的图像过原点可求，从而，由可解得，从而得；由可解得从而得；（2）由题可知，通过导函数可得的单调性，从而可得的极小值为；（3）根据题意可知，只须证明和的函数图像在切线的两侧即可，故求出函数在公共点(1,1)的切线方程，只须验证：，从而找到实数存在这样的实常数和，且.
试题解析：（1）由已知得，
则，从而，∴
，。
由 得，解得
。        4分
（2），
求导数得.        8分
在（0,1）单调递减，在（1,+）单调递增，从而的极小值为.
（3）因  与有一个公共点(1,1),而函数在点(1,1)的切线方程为.
下面验证都成立即可.
由 ，得，知恒成立.
设，即 ，
求导数得，
在(0,1)上单调递增，在上单调递减，所以 的最大值为，所以恒成立.
故存在这样的实常数和，且.        13分