Question

已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当，且，求函数的单调区间.

Answer 1

(1) ；（2）当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在，上单调递增，在上单调递减.

试题分析：本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间和切线方程等数学知识和方法，考查函数思想、分类讨论思想.第一问，先把代入，得到解析式，对它求导，将切点的横坐标代入得到切线的斜率，将1代入到表达式中得到切点的纵坐标，最后通过点斜式方程直接写出切线方程；第二问，先对求导，令得到方程的2个根和，讨论和的大小，分情况令得函数的增区间，得函数的减区间.
试题解析：(1)当时，，
∴，(2分)
∴，
又，(4分)
∴在点处的切线方程为.(5分)
(2)  ()，
令，可得.(6分)
①当时，由或，
在，上单调递增．
由.
在上单调递减．(9分)
②当时，由可得在，上单调递增．
由可得在上单调递减．(12分)