Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足数列{2^a_n}是等比数列，若a₄+a₁₀₀₉+a₂₀₁₄=$\frac{3}{2}$，则S₂₀₁₇的值是$\frac{2017}{2}$．

Answer 1

分析 根据等比数列的定义得到a_n-a_n-1=2^q，为常数，即{a_n}是等差数列，结合等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：∵数列{2^a_n}是等比数列，∴设公比为q，
则$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{{2}^{{a}_{n-1}}}$=2${\;}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=q，
则a_n-a_n-1=2^q，为常数，
则数列{a_n}是等差数列，
则a₄+a₂₀₁₄=2a₁₀₀₉，
由a₄+a₁₀₀₉+a₂₀₁₄=$\frac{3}{2}$，得3a₁₀₀₉=$\frac{3}{2}$，
即a₁₀₀₉=$\frac{1}{2}$，
则S₂₀₁₇=$\frac{2017（{a}_{1}+{a}_{2017}）}{2}$=$\frac{2017×2{a}_{1009}}{2}$=$\frac{2017}{2}$，
故答案为：$\frac{2017}{2}$

点评 本题主要考查数列求和的计算，根据等比数列和等差数列的定义判断数列{a_n}是等差数列，以及利用等差数列的性质是解决本题的关键．