Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（a-1）x²-x+$\frac{11}{27}$．
（Ⅰ）当a=3时，求证：函数f（x）的图象关于点（$\frac{1}{3}$，0）对称；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{1}{3}$个单位，得到函数g（x）=f（x+$\frac{1}{3}$）=x³-$\frac{4}{3}$x的图象，根据g（x）的奇偶性判证出结论即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可．

解答 （Ⅰ）证明：当a=3时，f（x）=x³-x²-x+$\frac{11}{27}$，
将函数f（x）的图象向左平移$\frac{1}{3}$个单位，
得到函数g（x）=f（x+$\frac{1}{3}$）=x³-$\frac{4}{3}$x的图象，
∵任意x∈R，-x∈R且g（-x）=-g（x），
∴g（x）是奇函数，图象关于原点对称，
∴函数f（x）的图象关于（$\frac{1}{3}$，0）对称；
（Ⅱ）解：由f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$（a-1）x²-x+$\frac{11}{27}$，
得：f′（x）=ax²-（a-1）x-1=（x-1）（ax+1），
①a=-1时，f′（x）=-（x-1）²≤0，
∴f（x）在R递减；
②当a＜-1时，令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{a}$）递减，在（-$\frac{1}{a}$，1）递增，在（1，+∞）递减；
③当-1＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，1）递减，在（1，-$\frac{1}{a}$）递增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）递减．

点评 本题考查了函数的奇偶性，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．