Question

已知无穷等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{b_n}对任意n∈N^*，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a_n成立．
①求数列{b_n}的通项公式；
②求数列{b_nb_n+1}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件，由等差数列的通项公式和等比数列性质求出公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a_n，得当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=a_n-1，所以a_nb_n=a_n-a_n-1=2，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
②当n=1时，T1=1×

2

3

=

2

3

，当n≥2时，bnbn+1=

2

2n-1

•

2

2n+1

=

2

2n-1

-

2

2n+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{b_nb_n+1}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由a₁，a₂，a₅成等比数列，得a22=a1•a5，
即（1+d）²=1•（1+4d）． …（1分）
∴d=2或d=0．∵d＞0，∴d=2．
∴a_n=2n-1．…（3分）
（2）①∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a_n，
∴当n=1时，b₁=1．…（4分）
当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=a_n-1，
∴a_nb_n=a_n-a_n-1=2，故bn=

2

2n-1

(n ≥ 2)．…（7分）
∴bn=

1，n=1 2 2n-1 ，n≥2

．…（8分）
②当n=1时，bnbn+1=1×

2

3

=

2

3

，T1=1×

2

3

=

2

3

，…（10分）
当n≥2时，bnbn+1=

2

2n-1

•

2

2n+1

=

2

2n-1

-

2

2n+1

．…（12分）Tn=

2

3

+(

2

3

-

2

5

)+(

2

5

-

2

7

)+…+(

2

2n-1

-

2

2n+1

)=

4

3

-

2

2n+1

．  …（14分）
∵n=1时，上式也适合，
∴Tn=

4

3

-

2

2n+1

 (n∈N *)．…（16分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．