Question

19．若函数f（x）在区间A上，对?a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间$[{\frac{1}{e^2}，e}]$上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（$\frac{{e}^{2}+2}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 若f（x）为“三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，利用导数法求出函数的最值，可得实数m的取值范围．

解答 解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”．
则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，
∵函数f（x）=xlnx+m在区间[$\frac{1}{{e}^{2}}$，e]上是“三角形函数”，
f′（x）=lnx+1，
当x∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；
当x∈（$\frac{1}{e}$，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；
故当x=$\frac{1}{e}$时，函数f（x）取最小值-$\frac{1}{e}$+m，
又由f（e）=e+m，f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=-$\frac{2}{{e}^{2}}$+m，
故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m，
∴0＜e+m＜2（-$\frac{1}{e}$+m），
解得：m∈（ $\frac{{e}^{2}+2}{e}$，+∞），
故答案为：（$\frac{{e}^{2}+2}{e}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点是函数的最值，能正确理解f（x）为“三角形函数”的概念，是解答的关键．