题目内容
8．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）和$\left\{\begin{array}{l}x=cosβ\\ y=1+sinβ\end{array}\right.$（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系；（1）求圆C1和C2的极坐标方程；
（2）射线$OM：θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．
分析 （1）圆C1的参数方程分别是$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），利用平方关系可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．圆C2的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=cosβ\\ y=1+sinβ\end{array}\right.$（β为参数），利用平方关系可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．
（2）把射线$OM：θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$代入分别圆C1与圆C2的极坐标方程即可得出．
解答 解：（1）圆C1的参数方程分别是$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），
利用平方关系可得普通方程：（x-2）2+y2=4，展开为：x2+y2-4x=0，
可得极坐标方程：ρ2-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
圆C2的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=cosβ\\ y=1+sinβ\end{array}\right.$（β为参数），
利用平方关系可得普通方程：x2+（y-1）2=1，
展开为：x2+y2-2y=0，可得极坐标方程：ρ2-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（2）把射线$OM：θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$代入圆C1的极坐标方程可得：ρ1=4cosα．
把射线$OM：θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$代入圆C2的极坐标方程可得：ρ2=2sinα．
|OP|•|OQ|=8cosα•sinα=4sin2α≤4，其最大值为4．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及其应用、参数方程化为普通方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | $（\frac{1}{2}，+∞）$ | B． | $（-∞，\frac{1}{2}）$ | C． | $（{\frac{1}{2}，2}]$ | D． | $[{-2，\frac{1}{2}}）$ |
| A． | （0，1） | B． | （-2，0） | C． | （-2，0] | D． | （-2，+∞） |
| A． | $-\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\vec c$ | B． | $\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\vec c$ | C． | $-\frac{1}{2}\vec a-\frac{1}{2}\vec b+\vec c$ | D． | $\frac{1}{2}\vec a-\frac{1}{2}\vec b+\vec c$ |