Question

7．已知椭圆C的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，其右焦点到直线$x-y+2\sqrt{2}=0$的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=x+m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的性质得到c，求出a，b，即可求解椭圆方程．
（2）设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，利用判别式以及韦达定理，求出MN的中点坐标，利用AM=AN，验证m是否存在即可．

解答 解：（1）因为焦点在x轴，顶点A（0，-1），∴b=1，设右焦点坐标为（c，0），
由题意得$\frac{{|{c+2\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}=3$，∴$c=\sqrt{2}$，
可得b=1，
∴$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}=1$；
（2）设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x^2}+3{y^2}-3=0}\end{array}，4{x^2}+6mx+3{m^2}-3=0，\left\{{\begin{array}{l}{△=36{m^2}-16（{3{m^2}-3}）＞0}\\{{x_1}+{x_2}=-\frac{3m}{2}}\end{array}}\right.}\right.$，
即M，N的中点坐标$Q（{-\frac{3m}{4}，\frac{m}{4}}）$，∵AM=AN，
∴k_AQ=-1，∴m=2经检验△=0不合题意，
∴不存在．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．