Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，E是棱BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）若AA₁=AB=1，求点E到平面ABC₁的距离．

Answer 1

分析 （I）分别取AC，AC₁的中点O，F，连接OB，OF，EF，则$OF\underset{∥}{=}BE$，可得四边形OBEF为平行四边形，可得：OB∥EF．由已知可得：OB⊥平面ACC₁A₁，即可证明EF⊥平面ACC₁A₁，∴平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．
（II）设点E到平面ABC₁的距离为h₁．点C₁到平面ABE的距离为h₂．利用${V}_{E-AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△AB{C}_{1}}$×h₁=${V}_{{C}_{1}-ABE}$═$\frac{1}{3}×{S}_{△ABE}$×h₂，即可得出．

解答 （I）证明：分别取AC，AC₁的中点O，F，连接OB，OF，EF，则$OF\underset{∥}{=}BE$，
∴四边形OBEF为平行四边形，可得：OB∥EF．∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
△ABC是正三角形，O是AC的中点，∴OB⊥平面ACC₁A₁，∴EF⊥平面ACC₁A₁，
∴平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．
（II）解：设点E到平面ABC₁的距离为h₁．点C₁到平面ABE的距离为h₂．
∴${V}_{E-AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△AB{C}_{1}}$×h₁=${V}_{{C}_{1}-ABE}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABE}$×h₂=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$．
又BC₁=AC₁=$\sqrt{2}$，AB=1．
∴${S}_{△AB{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，∴h₁=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∴点E到平面ABC₁的距离为$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查了空间位置关系、等边三角形的判定与性质、三棱锥的体积计算公式、空间距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．