Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点，AB₁⊥BC₁，则平面DBC₁与平面CBC₁所构成的角为

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以A为坐标原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DBC₁与平面CBC₁所构成的角的大小．

解答： 解：以A为坐标原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系．
设底面边长为2a，侧棱长为2b，
则A（0，0，0），C（0，2a，0），D（0，a，0），
B（

3

a，a，0），C₁（0，2a，2b），B₁（

3

a，a，2b）．
由

AB1

⊥

BC1

，得

AB1

•

BC1

=0，即2b²=a²．
设

n

₁=（x，y，z）为平面DBC₁的一个法向量，
则

n

•

DB

=0，

n

•

DC1

=0．
即

3 ax=0 ay+2bz=0

，又2b²=a²，令z=1，
解得

n

=（0，-

2

，1）．
同理可求得平面CBC₁的一个法向量为

m

=（1，

3

，0）．
设平面DBC₁与平面CBC₁所构成的角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

- 6

3 ×2

|=

2

2

，得θ=45°．
∴平面DBC₁与平面CBC₁所构成的角为45°．
故答案为：45°．

点评：本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．