Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁，F₂．若椭圆上存在点Q，使∠F₁QF₂=120°，椭圆离心率e的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：因为Q为椭圆的上下顶点时∠F₁QF₂最大，不妨让Q是椭圆的上顶点，则∠F₁QF₂≥120°，所以60°≤∠F₁QO＜90°，所以根据正弦函数的单调性即有

3

2

≤sin∠F1QO＜1，所以便得到

3

2

≤e＜1．

解答： 解：如图，当Q是椭圆的上下顶点时∠F₁QF₂最大；
∴120°≤∠F₁QF₂＜180°；
∴60°≤∠F₁QO＜90°；
∴sin60°≤sin∠F₁QF₂＜sin90°；
∵|F₁Q|=a，|F₁O|=c；
∴

3

2

≤

c

a

＜1；
∴椭圆离心率e的取值范围为[

3

2

，1)．
故答案为：[

3

2

，1]．

点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及当Q为椭圆上下顶点时∠F₁QF₂最大，a²=b²+c²．