Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+2
（1）若f（x）在x=1时有极值-1，求b，c的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由题意求导，再令导数为0，从而解得；
（2）由（1）知 f'（x）=3x²+2x-5，从而列表得到函数值的取值情况，结合函数图象求解．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2bx+c，
由已知得 

f(1)=1+b+c+2=-1 f′(1)=3+2b+c=0

，
解得 

b=1 c=-5

经验证，符合题意．
（2）由（1）知  f'（x）=3x²+2x-5，
由f'（x）=0  得  x₁=-

5

3

，x₂=1，
列表如下：

x	(-∞，- 5 3 )	- 5 3	(- 5 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

根据表格，
当x=-

5

3

时函数取得极大值，且极大值为f(-

5

3

)=

229

27

，
当x=1时函数取得极小值，且极小值为f（1）=-1，
所以根据题意可知-1＜k＜

229

27

；
所以 k的取值范围是(-1，

229

27

)．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．