Question

如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合．
（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求证P为BD的中点；
（Ⅲ）求直线AP与平面ABC所成的角．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用线面垂直来证明，∵CQ⊥面ABC，∴CQ⊥AB；
（Ⅱ）设BP=x，在Rt△APO中，AO²+OP²=AP²，得到x的方程求解，进而得到结论；
（Ⅲ）PO⊥面ABC，∴直线AP与平面ABC所成的角就是∠PAO．

解答： 证明：（Ⅰ）∵面ABC⊥面BCQ，又CQ⊥BC，∴CQ⊥面ABC，∴CQ⊥AB
（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥面BCQ，连接OP，设AB=1，则BD=2，设BP=x，由题意AP=DP=2-x，在△BPO中，
BO=，∠CBP=45°，∴OP^2_=x2₊(

2

2

)2-2×

2

2

×cos45°，在Rt△APO中，AO²+OP²=AP²，于是，(

2

2

)2+^_x2₊(

2

2

)2-2×

2

2

×cos45°=（2-x）²
解得x=1，
故P为BD的中点
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，AO⊥面BCD，P为BD的中点，O为BC的中点，PO⊥面ABC，∴直线AP与平面ABC所成的角就是∠PAO
∠PAO=45°，故直线AP与平面ABC所成的角为45°．

点评：本题考查线面位置关系，空间距离，线面角，综合性较强．