Question

如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC₁中点，AB₁与A₁B交于点O．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求证：平面AB₁C⊥平面A₁EB．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：

分析：（Ⅰ）说明三棱柱为正三棱柱，连结OD，证明CD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明CD∥平面A₁EB．
（Ⅱ）证明AB₁⊥平面A₁EB，通过平面与平面垂直的判定定理证明平面A₁EB⊥平面AB₁C．

解答： 证明：（Ⅰ）∵棱柱的每个侧面为正方形，
∴

AA1⊥AC AA1⊥AB

⇒AA₁⊥底面ABC，
∴三棱柱为正三棱柱，
连结OD，
∵D为AB中点，O为对面线AB₁，A₁B交点，∴OD∥

1

2

BB₁，
又E为CC₁中点，∴EC∥

1

2

BB₁，OD∥EC，
∴DCEO为平行四边形，CD∥EO，
又CD?平面A₁EB，EO?平面A₁EB，∴CD∥平面A₁EB．
（Ⅱ）∵AB=AC=CB，∴CD⊥AB，
又直棱柱侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，∴CD⊥平面ABB₁A₁，CD⊥AB₁，
由（Ⅰ）CD∥EO，∴EO⊥AB₁，
又正方形中，A₁B⊥AB₁，EO∩A₁B=O，EO、A₁B?平面A₁EB，
∴AB₁⊥平面A₁EB，
又AB₁?平面AB₁C，∴平面A₁EB⊥平面AB₁C．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力、逻辑推理能力．