Question

设函数f（x）=tan（

x

2

+

π

4

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、定义域、单调区间；
（Ⅱ）已知θ是第三象限角，且f（θ）=

1

2

，求tanθ的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,正切函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式求出函数f（x）的最小正周期、令

x

2

+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，确定出函数的定义域、根据正切函数的单调性确定出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据第一问确定出的解析式，由f（θ）=

1

2

，求出tan

θ

2

，再利用二倍角的正切函数公式即可求出tanθ的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=tan（

x

2

+

π

4

），
∵ω=

1

2

，
∴T=

π

1 2

=2π，即函数f（x）的最小正周期，
令

x

2

+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得到x=4kπ+

π

2

，k∈Z，
∴f（x）的定义域为x≠4kπ+

π

2

，k∈Z，
令-

π

2

+2kπ＜

x

2

+

π

4

＜

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

3π

2

+4kπ＜x＜

π

2

+4kπ，k∈Z，
则f（x）单调区间为（-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ）k∈Z；
（Ⅱ）∵θ是第三象限角，且f（θ）=

1

2

，
∴f（θ）=tan（

θ

2

+

π

4

）=

1

2

，
∴

tan θ 2 +1

1-tan θ 2

=

1

2

，即tan

θ

2

=-

1

3

，
则tanθ=

2tan θ 2

1-tan2 θ 2

=

2×(- 1 3 )

1-(- 1 3 )2

=-

3

4

．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，正切函数的图象与性质，二倍角的正切函数公式，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．