Question

直线y=kx+1与曲线f（x）=x³+ax+b相切于点A（1，3）
（1）求f（x）；
（2）若g（x）=f（x）+lnx+（t-1）x-x³+x（t∈R），讨论函数g（x）单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）把点A的坐标代入直线方程求出k的值，即曲线在点A处的切线的斜率，求出原函数的导函数，由
f′（1）等于切线的斜率求得a的值，再把点A的坐标代入曲线方程求得b的值，则函数解析式可求；
（2）把f（x）代入g（x）=f（x）+lnx+（t-1）x-x³+x，整理后求其导数g′(x)=

1

x

+t-1，然后对t-1
大于等于0和t-1小于0分类讨论，当t-1≥0时，g′（x）＞0，原函数在定义域内单调递增；当t-1＜0时，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的单调区间．

解答： 解：（1）把点A（1，3）代入直线y=kx+1，得3=k+1，
∴k=2．
由f（x）=x³+ax+b，得f′（x）=3x²+a，
∴f′（1）=3+a=2，则a=-1．
把点A（1，3）代入曲线f（x）=x³-x+b，得：
f（1）=1³-1+b=3，
∴b=3．
∴f（x）=x³-x+3；
（2）g（x）=f（x）+lnx+（t-1）x-x³+x=lnx+（t-1）x+3，
g′(x)=

1

x

+t-1（x＞0）．
当t-1≥0，即t≥1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增；
当t-1＜0，即t＜1时，
由g′（x）＞0，得0＜x＜

1

1-t

，
由g′（x）＜0，得x＞

1

1-t

．
∴g（x）在(0，

1

1-t

)单调递增，(

1

1-t

，+∞)单调递减；
综上：当t≥1时，g（x）在（0，+∞）单调递增；
当t＜1时，g（x）在(0，

1

1-t

)单调递增，(

1

1-t

，+∞)单调递减．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．