Question

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：（1）对?x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

5+3xy

）；（2）f（x）在（-1，1）上是单调减函数，且f（

1

4

）=-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）解不等式：f（2x-1）＜1．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，即可求出f（0）；
（2）令y=-x，代入恒等式，结合奇偶性的定义，即可得证；
（3）由（2）的结论，求得f（-

1

4

）=-f（

1

4

）=1，再由函数的单调性得到不等式组，解出即可．

解答： （1）解：令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），
即有f（0）=0；
（2）证明：定义域关于原点对称．
可令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即有f（-x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（3）解：由（2）得，f（-

1

4

）=-f（

1

4

）=1，
则不等式f（2x-1）＜1即为f（2x-1）＜f（-

1

4

），
由f（x）在（-1，1）上是单调减函数，可得，

-1＜2x-1＜1 2x-1＞- 1 4

，即得

3

8

＜x＜1，
故原不等式的解集为（

3

8

，1）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义域，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，本题属于中档题．