题目内容
在△ABC中，已知
•
=16，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且
=x•
+y•
，则
+
的最小值为（ ）
| BA |
| BC |
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|
考点：正弦定理,基本不等式,平面向量的基本定理及其意义,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：sinB=cosA•sinC=sin（A+C），展开可得sinAcosC=0，得到C=
．由
•
=16，可得cacosB=16，解得a=4．由S△ABC=6，可得
ab=6，a=4，b=3．由
=x•
+y•
，P为线段AB上的一点，可得
+
=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
| π |
| 2 |
| BA |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
| x |
| 4 |
| y |
| 3 |
解答：
解：∵sinB=cosA•sinC=sin（A+C），∴cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=0，∵A，C∈（0，π），∴C=
．
∵
•
=16，∴cacosB=16，∴a2=16，解得a=4．
∵S△ABC=6，∴
ab=6，a=4，解得b=3．
∴c=5．
∵
=x•
+y•
，P为线段AB上的一点，
∴
+
=1．
∴
+
=(
+
)(
+
)=
+
+
≥
+2
=
+
，当且仅当2y=
x=24-12
时取等号．
故选：D．
∴sinAcosC=0，∵A，C∈（0，π），∴C=
| π |
| 2 |
∵
| BA |
| BC |
∵S△ABC=6，∴
| 1 |
| 2 |
∴c=5．
∵
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
∴
| x |
| 4 |
| y |
| 3 |
∴
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| x |
| 4 |
| y |
| 3 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 7 |
| 12 |
| y |
| 3x |
| x |
| 4y |
| 7 |
| 12 |
|
| 7 |
| 12 |
| ||
| 3 |
| 3 |
| 3 |
故选：D．
点评：本题考查了数量积运算性质、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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已知A、B、C为△ABC的三个内角，且关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1-x2）sinC=0有两个相等实根，则△ABC的形状为（ ）
| A、锐角三角形 |
| B、直角三角形 |
| C、钝角三角形 |
| D、等边三角形 |