Question

设关于正整数n的函数f（n）=

12•1+22•3+…n2•(2n-1)

n(n+1)

．
（Ⅰ）求f（1）、f（2）、f（3）；
（Ⅱ）是否存在常数a，b，c使得f（n）=an²+bn+c对一切自然数n都成立？并证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）通过已知条件，直接求解f（1）、f（2）、f（3）；
（Ⅱ）先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：①当n=1时成立．②再假设n=k（k≥1）时，成立，即

12•1+22•3+…n2•(2n-1)

n(n+1)

=an²+bn+c，再递推到n=k+1时，成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（n）=

12•1+22•3+…n2•(2n-1)

n(n+1)

，f（1）=

1

2

；f（2）=

13

6

；f（3）=

19

6

；
（Ⅱ）假设存在符合题意的常数a，b，c，由（Ⅰ）可得：

a+b+c= 1 2 4a+2b+c= 13 6 9a+3b+c= 29 6

，解得：a=

1

2

，b=

1

6

，c=-

1

6

；
证明：①的n=1，2，3时已经证明等式成立；
②假设n=k（k≥3）时，等式成立，即f（k）=

1

6

(3k2+k-1)．
则当n=k+1时，
f（k+1）=

12•1+22•3+…+k2•(2k-1)+(k+1)2(2k+1)

(k+1)(k+2)

=

12•1+22•3+…+k2•(2k-1)

(k+1)(k+2)

+

(k+1)2(2k+1)

(k+1)(k+2)

=

k

k+2

•

2k2+k-1

6

+

(k+1)(2k+1)

k+2

=

3k3+13k2+17k+6

6(k+2)

=

1

6(k+2)

(k+2)(3k2+7k+3)
=

1

6

[3(k+1)2+(k+1)-1]
∴当n=k+1时，等式也成立．
综上所述，当a=

1

2

，b=

1

6

，c=-

1

6

时，题设的等式对于一切正整数n都成立．

点评：第（Ⅰ）题主要考查递推公式的应用，第（Ⅱ）题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件．数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．