Question

（1）解不等式|2x-1|+|x+1|≥x+2；
（2）已知x，y，z为正实数，求3（x²+y²+z²）+

2

x+y+z

的最小值．

Answer 1

考点：柯西不等式在函数极值中的应用,绝对值不等式的解法

专题：选作题,不等式

分析：（1）利用绝对值的几何意义，去掉绝对值，即可解不等式；
（2）由柯西不等式有（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²，即可求3（x²+y²+z²）+

2

x+y+z

的最小值．

解答： 解：（1）

x≥ 1 2 3x≥x+2

⇒x≥1或

-1≤x≤ 1 2 1-2x+x+1≥x+2

⇒-1≤x≤0
或

x＜-1 1-2x-x-1≥x+2

⇒x＜-1，
综上所解得原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}；…5分
（2）由柯西不等式有（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²
所以3(x2+y2+z2)+

2

x+y+z

≥(x+y+z)2+

2

x+y+z

=(x+y+z)2+

1

x+y+z

+

1

x+y+z

≥3

3	1

=3
当且仅当x=y=z且(x+y+z)2=

1

x+y+z

，即x=y=z=

1

3

时取等号．
故3(x2+y2+z2)+

2

x+y+z

的最小值为3…10分．

点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²进行解题，属于中档题．