Question

如图，点P（0，

A

2

）是函数y=Asin（

2π

9

x+φ）（其中A＞0，φ∈[0，2π））的图象与sinθ=

t

1+t2

轴的交点，点Q是它与y轴的一个交点，点R是它的一个最低点．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若PQ⊥PR，求A的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由函数经过点P(0，

A

2

)，得到sinφ=

1

2

，结合φ的范围求得φ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函数解析式，然后求出Q和R点的坐标，进一步求出

PQ

，

PR

的坐标，然后由数量积等于0求得A的值．

解答： 解：（I）∵函数经过点P(0，

A

2

)，∴sinφ=

1

2

，
又∵φ∈[0，2π），且点P在递减区间上，∴ϕ=

5π

6

；
（II）由（I）可知y=Asin(

2π

9

+

5π

6

)，令y=0，
得sin(

2π

9

x+

5π

6

)=0，∴

2π

9

x+

5π

6

=0，
∴x=-

15

4

，∴Q(-

15

4

，0)．

令y=-A，得sin(

2π

9

x+

5π

6

)=-1，
∴

2π

9

x+

5π

6

=

3π

2

，
∴x=3，
∴R（3，-A）．
又∵P(0，

A

2

)，
∴

PQ

=(-

15

4

，-

A

2

)，

PR

=(3，-

3A

2

)，
∵PQ⊥PR，
∴

PQ

•

PR

=-

45

4

+

3

4

A2=0，解得：A=

15

．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，考查了平面向量的数量积，体现了数学转化思想方法，是中档题．