Question

某校为宣传县教育局提出的“教育发展，我的责任”教育实践活动，要举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是

2

3

，

1

3

，

1

4

，且各阶段通过与否相互独立．
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（Ⅱ）设该选手在比赛中比赛的次数为ξ，求ξ的分布列、数学期望和方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)=

2

3

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

．由此能求出该选手在复赛阶段被淘汰的概率．
（Ⅱ）ξ可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列、数学期望和方差．

解答： 解：（Ⅰ）记“该选手通过初赛”为事件A，
“该选手通过复赛”为事件B，
“该选手通过决赛”为事件C，
则P(A)=

2

3

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

．
那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是：
p=p(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

2

3

×(1-

1

3

)=

4

9

．…（4分）
（Ⅱ）ξ可能取值为1，2，3．…（5分）P(ξ=1)=P(

.

A

)=1-

2

3

=

1

3

，P(ξ=2)=P(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

2

3

×(1-

1

3

)=

4

9

，P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=

2

3

×

1

3

=

2

9

．…（8分）
ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	1 3	4 9	2 9

Eξ=1×

1

3

+2×

4

9

+3×

2

9

=

17

9

．…（10分）Dξ=(1-

17

9

)2×

1

3

+(2-

17

9

)2×

4

9

+(3-

17

9

)2×

2

9

=

44

81

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，解题时要认真审题，是中档题．