Question

已知函数f（x）=1+f（

1

x

）•log₂x．
（1）求函数的解析式；
（2）求f（2）的值；
（3）解方程：f（x）=f（2）．

Answer 1

考点：对数的运算性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用

1

x

替换式中的x可得f（

1

x

）=1-f（x）•log₂x，与已知式子联立消去f（

1

x

）可得f（x）=

1+log2x

1+(log2x)2

；
（2）代入计算可得f（2）；
（3）方程f（x）=f（2）可化为1+log₂x=1+(log2x)2，解得log₂x即得x值．

解答： 解：（1）∵f（x）=1+f（

1

x

）•log₂x，
∴f（

1

x

）=1+f（x）•log₂

1

x

=1-f（x）•log₂x，
两式联立消去f（

1

x

）可得f（x）=

1+log2x

1+(log2x)2

；
（2）代入计算可得f（2）=

1+log22

1+(log22)2

=

1+1

1+12

=1；
（3）方程f（x）=f（2）可化为

1+log2x

1+(log2x)2

=1，
变形可得1+log₂x=1+(log2x)2，解得log₂x=0或log₂x=1；
解得x=1或x=2

点评：本题考查对数的运算性质，涉及函数解析式的求解，属基础题．