Question

已知函数f(x)=cos2x+2cos(

π

2

-x)+a-2
（1）当a=1时，求函数f（x）在[-

π

6

，

5π

6

]上的值域；
（2）当a为何值时，方程f（x）=0在[0，2π）上有两个解．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,二次函数在闭区间上的最值,函数的零点

专题：三角函数的求值

分析：（1）将a=1代入f（x），利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简，整理后得到关于sinx的式子，设t=sinx，确定出t的范围，得到关于t的二次函数，由二次函数的性质求出f（x）的值域即可；
（2）由第一问确定的解析式代入f（x）=0，根据方程在[0，2π）上有两个解，令t=sinx，利用正弦函数的值域确定出t的范围，令g（t）=2t²-2t+1，分类讨论a的范围，得到满足题意a的范围即可．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=cos2x-1+2cos（

π

2

-x）=-2sin²x+2sinx，
令t=sinx，-

1

2

≤t≤1，得到f（t）=-2t²+2t=-2（t-

1

2

）²+

1

2

，
∵a=-2＜0，即二次函数开口向下，
∴f（x）最大值为

1

2

，最小值为-

3

2

，
则f（x）的值域为[-

3

2

，

1

2

]；
（2）f（x）=2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π）上有两个解，
令t=sinx，-1≤t≤1，得：2t²-2t+1=a，
令g（t）=2t²-2t+1，
当1＜a＜5时，关于t的方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上有一解，-1＜t＜0，
此时方程t=sinx在[0，2π）上有两个解；
当a=5时，关于t的方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上有一解，t=-1，
此时唯一解x=

3π

2

；
当a=1时，关于t的方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上有两解，t₁=0，t₂=1，
此时有三解；
当a=

1

2

时，t=

1

2

，得到x=

π

6

或x=

5π

6

，
此时有两解，
综上，a∈（1，5）或a=

1

2

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，二次函数在闭区间上的最值，以及函数的零点，弄清题意是解本题的关键．