题目内容
7．
一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．
分析 （Ⅰ）根据频率和为1，求解得a=0.03；
（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，根据平均数值公式求解即可．
（Ⅲ）ξ～B（3，0.2），根据二项分布求解概率列出分布列，求解数学期望及方差即可．
解答 解：（Ⅰ）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（Ⅲ）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的频率为0.2；
则ξ～B（3，0.2），
ξ=0，1，2，3；
P（ξ=0）=C30×0．83=$\frac{64}{125}$；
P（ξ=1）=C31×0.82×0.2=$\frac{48}{125}$；
P（ξ=2）=C32×0.8×0.22=$\frac{12}{125}$；
P（ξ=3）=C33×0.23=$\frac{1}{125}$，
∴ξ的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{64}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{1}{125}$ |
点评 本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力
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