Question

15．设0＜a≤1，函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$-1，g（x）=x-2lnx，若对任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围是[2-2ln2，1]．

Answer 1

分析 求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．

解答 解：求导函数，可得g′（x）=1-$\frac{2}{x}$，x∈[1，2]，g′（x）＜0，x∈（2，e]，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（2）=2-2ln2，
令f'（x）=0，∵0＜a＜1，x=±$\sqrt{a}$，
当0＜a≤1，f（x）在[1，e]上单调增，
∴f（x）_min=f（1）=a≥2-2ln2，
∴2-2ln2≤a≤1，
故答案为[2-2ln2，1]．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，转化为对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x）_min≥g（x）_min．