Question

5．已知曲线f（x）=e²x+$\frac{1}{ax}$（x≠0，a≠0）在x=1处的切线与直线（e²-1）x-y+2016=0平行．
（1）讨论y=f（x）的单调性；
（2）若kf（s）≥t ln t在s∈（0，+∞），t∈（1，e]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由题意列式求得a值．
（1）分别由导函数大于0和导函数小于0求得原函数的单调区间；
（2）把kf（s）≥t ln t在s∈（0，+∞），t∈（1，e]上恒成立，转化为k≥$\frac{tlnt}{f（s）}$在s∈（0，+∞），t∈（1，e]上恒成立，即k≥$[\frac{tlnt}{f（s）}]_{max}$恒成立．利用导数分别求出f（x）在（0，+∞）上的最小值和g（x）在（1，e]上的最大值得答案．

解答 解：由f（x）=e²x+$\frac{1}{ax}$，得f′（x）=e²-$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
∴f′（1）=${e}^{2}-\frac{1}{a}$，则${e}^{2}-\frac{1}{a}$=e²-1，得a=1．
∴f（x）=e²x+$\frac{1}{x}$，f′（x）=e²-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
（1）由f′（x）=e²-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，得x$＜-\frac{1}{e}$或x＞$\frac{1}{e}$，
由f′（x）=e²-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，得$-\frac{1}{e}$＜x＜$\frac{1}{e}$且x≠0，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-$\frac{1}{e}$），（$\frac{1}{e}$，+∞）．
单调减区间为（$-\frac{1}{e}，0$），（0，$\frac{1}{e}$）；
（2）当s∈（0，+∞），t∈（1，e]时，f（s）＞0，t ln t＞0，
由kf（s）≥t ln t，可得k≥$\frac{tlnt}{f（s）}$在s∈（0，+∞），t∈（1，e]上恒成立，
即k≥$[\frac{tlnt}{f（s）}]_{max}$恒成立．
设g（x）=xlnx，故只需求出f（x）在（0，+∞）上的最小值和g（x）在（1，e]上的最大值，
由（1）知，f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，
故f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（$\frac{1}{e}$）=${e}^{2}•\frac{1}{e}+e=2e$，
由g（x）=xlnx，可得g′（x）=lnx+1，当x∈（1，e]时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，e]上单调递增，g（x）的最大值为g（e）=e．
∴只需k≥$\frac{e}{2e}=\frac{1}{2}$．
∴实数k的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查不等式恒成立、函数的最值、导数的几何意义等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属压轴题．