题目内容
20．设点P为有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的一个交点，且cos∠F1PF2=$\frac{3}{5}$，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若e2=2e1，则e1=（ ）| A． | $\frac{\sqrt{10}}{4}$ | B． | $\frac{\sqrt{7}}{5}$ | C． | $\frac{\sqrt{7}}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{10}}{5}$ |
分析 设椭圆与双曲线的半长轴分别为a1，a2，半焦距为c．设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设m＞n，由椭圆与双曲线的定义可得：m+n=2a1，m-n=2a2．又4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2，cos∠F1PF2=$\frac{3}{5}$，即可得出．
解答 解：设椭圆与双曲线的半长轴分别为a1，a2，半焦距为c．e1=$\frac{c}{{a}_{1}}$，e2=$\frac{c}{{a}_{2}}$．
设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设m＞n，
则m+n=2a1，m-n=2a2．
∴m2+n2=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$，mn=${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$．
4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2，
∴4c2=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$-2（${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$）×$\frac{3}{5}$．
化为：5c2=${a}_{1}^{2}$+4${a}_{2}^{2}$，
∴5=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$×4，又e2=2e1，
∴5=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{4{e}_{1}^{2}}$×4，e1∈（0，1）．
则e1=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故选：D．
点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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