Question

9．设A={y|y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，x∈R}，B={y|y=$\frac{1}{3}$x+m，x∈[-1，1]}，记命题p：“x∈A”，命题q：“x∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 求出集合的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
则0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，-1＜-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜0，
则0＜1-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
即0＜y＜1，
则A=（0，1），
B={y|y=$\frac{1}{3}$x+m，x∈[-1，1]}=[-$\frac{1}{3}$+m，$\frac{1}{3}$+m]，
若p是q的必要不充分条件，
则B?A，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}+m＜1}\\{-\frac{1}{3}+m＞0}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{3}$＜m＜$\frac{2}{3}$，
故答案为：（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据函数的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键．