Question

2．已知函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8．
（Ⅰ）当a=0时，求函数y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=0时的f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；
（Ⅱ）求得函数的导数，并分解因式，对a讨论，当a=1，a＞1，a＜1，由二次不等式的解法，即可得到所求单调区间．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x³-3x²+8，
f′（x）=6x²-6x，
在（-1，f（-1））处的切线斜率为6+6=12，
切点为（-1，3），
则切线的方程为y-3=12（x+1），即为y=12x+15；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
当a=1时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
当a＞1时，f′（x）＞0，解得x＞a或x＜1；f′（x）＜0，解得1＜x＜a；
当a＜1时，f′（x）＞0，解得x＞1或x＜a；f′（x）＜0，解得a＜x＜1．
即有当a=1时，f（x）的增区间为R；
当a＞1时，f（x）的增区间为（-∞，1），（a，+∞），减区间为（1，a）；
当a＜1时，f（x）的增区间为（-∞，a），（1，+∞），减区间为（a，1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，注意运用分类讨论的思想方法是解题的关键．