Question

17．已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），g（x）=f²（x）+f（x²）．
（1）求函数g（x）的定义域．
（2）求函数g（x）的最值．

Answer 1

分析 换元t=log₂x，g（x）=（1+log₂x）²+1+2log₂x求解即可
（1）根据变量范围得出$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$求解
（2）换元得出二次函数h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，利用二次函数的性质求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$
即1≤x≤2
∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），g（x）=f²（x）+f（x²）=（1+log₂x）²+1+2log₂x
∴g（x）=（log₂x）²+4log₂x+2，1≤x≤2
（2）设t=log₂x则h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1
∵对称轴t=-2，h（t）在[0，1]为增函数，h（0）=2，h（1）=7
∴h（t）=t²+4t+2，0≤t≤2值域为[2，7]
即g（x）=f²（x）+f（x²）的值域为[2，7]

点评 本题考察了换元法转化为二次函数求值域问题，注意自变量的范围，属于中档题，特别容易出错．