Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0       
②f（1）=1
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂） 成立；则称函数f（x）为?函数．下面有三个命题：
（1）若函数f（x）为?函数，则f（0）=0； 
（2）函数f（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是?函数；
（3）若函数f（x）是?函数，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，则f（x₀）=x₀；         
其中真命题是

 

．（填上所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）依题意，令x₁=x₂=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0，由此可证f（0）=0；
（2）f（x）=2^x-1在[0，1]满足条件①f（x）≥0，也满足条件②f（1）=1．若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，满足条件③，从而得证f（x）是?函数；
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x₀）=x₀．

解答： 解：（1）∵对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0，
又x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂） 成立，
∴取x₁=x₂=0得：f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
∴f（0）=0，即（1）正确；
（2）显然f（x）=2^x-1在[0，1]满足条件①f（x）≥0；
也满足条件②f（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
则f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]
=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]
=2x1+x2-2x1-2x2+1
=（2x2-1）（2x1-1）≥0，即满足条件③，
故g（x）是?函数，即（2）正确；
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若x₀＜f（x₀），则f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若x₀＞f（x₀），则f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀，即（3）正确；
故答案为：（1）（2）（3）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数值的求法，解题时要认真审题，细心挖掘题设中的隐含条件，考查等价转化思想与抽象思维、逻辑思维能力，属于难题．