Question

设函数f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

．若对任意实数α，β，不等式f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0恒成立，则b=

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：结合三角函数的值域，及已知条件，可得f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

≤0在[-1，1]上恒成立且f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

≥0在[1，3]上恒成立，进而可得f（1）=0，进而得到答案．

解答： 解：∵cosα∈[-1，1]，2-sinβ∈[1，3]
且f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0恒成立，
故f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

≤0在[-1，1]上恒成立且f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

≥0在[1，3]上恒成立，
∴f(1)=

1

4

+b-

3

4

=0
故b=

1

2

，
故答案为：

1

2

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据已知分析出f（1）=0，是解答的关键．