Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+c，对x∈[-1，2]，f（x）单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的导数，由题意得不等式3x²+2ax+1≤0，得a≤-

3x2+1

2x

对任意x∈[-1，2]恒成立，利用函数的导数求出函数的最值，从而求出a的值．

解答： 解：函数f（x）=x³+ax²+x+c，f′（x）=3x²+2ax+1，
∵f（x）在x∈[-1，2]，f（x）单调递减，
∴f′x）≤0对任意x∈[-1，2]恒成立，
∴3x²+2ax+1≤0，得a≤-

3x2+1

2x

，
对任意x∈[-1，2]恒成立，
令g（x）=-

3x2+1

2x

，则g′（x）=-

6x2-3x2-1

2x2

=-

3x2-1

2x2

，
令

3x2-1

2x2

=0，可得x=±

3

3

，
x∈[-1，-

3

3

），g′（x）＞0，x∈（-

3

3

，

3

3

），g′（x）＜0，
x∈（

3

3

，2），g′（x）＞0，
所以g（x）的最小值为：g（-1）=2（舍去）或g（

3

3

）=-

3

则a≤-

3

∴a≤-

3

．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道中档题