Question

已知斜率为1的直线l，过椭圆

x2

3

+

y2

2

=1的右焦点F₂，交椭圆于A，B两点，求弦长AB和△ABF₁的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线l的方程y=x-1与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由椭圆

x2

3

+

y2

2

=1可得右焦点F₂（1，0），左焦点F₁（-1，0）．
∴直线l的方程为y=x-1．
联立

y=x-1 2x2+3y2=6

，化为5x²-6x-3=0．
∴x₁+x₂=

6

5

，x₁x₂=-

3

5

．
∴|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×[( 6 5 )2-4×(- 3 5 )]

=

8 3

5

．
F₁点到直线AB的距离d=

2

2

=

2

．
∴△ABF₁的面积=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×

2

×

8 3

5

=

4 6

5

．
∴弦长|AB|=

8 3

5

，△ABF₁的面积为

4 6

5

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．