Question

如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；
（Ⅱ）（只文科生做）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积；
（只理科生做）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角P-NB-M的平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）直接根据题中的已知条件求出线线垂直在得到线面垂直，最后转化出结论．
（Ⅱ）（文科）根据面面垂直转化出线面垂直，再根据已知条件求出锥体的体积．
（理科）先作出二面角的平面角，利用面面垂直和相关的线段长，再根据解三角形知识求出结果

解答： 证明：（ I）PA=PD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴BN⊥AD，
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PNB．
（ II）（文科）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2
∴PN=NB=

3

，
∴S△PNB=

3

2

又BC⊥平面PNB，PM=2MC，
∴VP-NBM=VM-PNB=

2

3

VC-PNB=

2

3

•

1

3

•

1

2

•

3

•

3

•2=

2

3

．
（理科）作ME∥BC交PB于E点，作EF⊥NB于F点，连结MF．
∵BC⊥平面PNB，
∴ME⊥平面PNB，EF是MF在平面PNB上的射影
∴MF⊥BN，
∴∠MFE是二面角P-NB-M的平面角，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2∴PN=

3

，
在△PBC中可知ME=

2

3

BC=

4

3

，
在△PNB中EF=

1

3

PN=

3

3

∴tan∠MFE=

4 3

3

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，锥体的体积公式的应用，二面角的应用．属于中等题型．