Question

已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（2+x）=f（6-x），且当x≠4时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞4f′（x），若9＜a＜27，则（　　）

• A、f（2

  a

  ）＜f（6）＜f（1og₃a）
• B、f（6）＜f（2

  a

  ）＜f（1og₃a）
• C、f（1og₃a）＜f（2

  a

  ）＜f（6）
• D、f（1og₃a）＜f（6）＜f（2

  a

  ）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：由f（2+x）=f（6-x），可知函数f（x）关于直线x=4对称，由xf′（x）＞4f′（x），可知f（x）在（-∞，4）与（4，+∞）上的单调性，从而可得答案

解答： 解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（2+x）=f（6-x），
∴f（x）关于直线x=4对称；
又当x≠4时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞4f′（x）?f′（x）（x-4）＞0，
∴当x＞4时，f′（x）＞0，f（x）在（4，+∞）上的单调递增；
同理可得，当x＜4时，f（x）在（-∞，4）单调递减；
∵9＜a＜27，
∴2＜log₃a＜3，8＜2

a

＜8•2

3

，
∴f（log₃a）＜f（6）＜f（2

a

），
故选：D

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（-∞，4）与（4，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．