Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=2，E在BC上，且BE=$\frac{1}{2}$AB=1，侧棱PA⊥平面ABCD．
（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（2）若△PAB为等腰直角三角形．
（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；
（ii）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥PA，AB⊥AD，建立建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PDE⊥平面PAC．
（2）（i）求出平面PAC的一个法向量和$\overrightarrow{PE}=（2，1，-2）$，利用向量法能求出直线PE与平面PAC所成角的正弦值．
（ii）求出平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答 （本小题满分13分）
证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，
 又∵AB⊥AD，故可建立建立如图所示坐标系．
由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0）
∴$\overrightarrow{AC}$=（2，4，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，λ），$\overrightarrow{DE}$=（2，-1，0），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AC}$=4-4+0=0，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AP}=0$．…（3分），
∴DE⊥AC，DE⊥AP，∴ED⊥平面PAC，
∵ED?平面PDE，平面PDE⊥平面PAC．…（4分）
解：（2）（i）由（1）得，平面PAC的一个法向量是$\overrightarrow{DE}$=（2，-1，0），
∵△PAB为等腰直角三角形，故PA=2，$\overrightarrow{PE}=（2，1，-2）$．
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
则$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{DE}＞}|$=$\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•3}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴直线PE与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（8分）
（ii）设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{DC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-2，2），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-2y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{2+1}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（11分）
∵二面角A-PC-D的平面角是锐角，
∴二面角A-PC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（13分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．