Question

14．若[x]表示不超过x的最大整数，则[lg2]+[lg3]+…+lg[2017]+[lg$\frac{1}{2}$]+[lg$\frac{1}{3}$]+…+[lg$\frac{1}{2017}$]=-2013．

Answer 1

分析 分类讨论，当2≤n≤9时，[lgn]=0；当10≤n≤99时，[lgn]=1；当100≤n≤999时，[lgn]=2；当1000≤n≤9999时，[lgn]=3；当$\frac{1}{10}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{2}$，[lg$\frac{1}{n}$]=-1；当$\frac{1}{100}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{11}$时，[lg$\frac{1}{n}$]=-2；当$\frac{1}{1000}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{101}$时，[lg$\frac{1}{n}$]=-3；
当$\frac{1}{10000}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{1001}$时，[lg$\frac{1}{n}$]=-4．从而分别求和即可．

解答 解：当2≤n≤9时，[lgn]=0，
当10≤n≤99时，[lgn]=1，
当100≤n≤999时，[lgn]=2，
当1000≤n≤9999时，[lgn]=3，
故[lg2]+[lg3]+…+[lg2016]+[2017]
=0×8+1×90+2×900+3×1018
=90+1800+3054
=4944；
当$\frac{1}{10}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{2}$，[lg$\frac{1}{n}$]=-1；
当$\frac{1}{100}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{11}$时，[lg$\frac{1}{n}$]=-2；
当$\frac{1}{1000}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{101}$时，[lg$\frac{1}{n}$]=-3；
当$\frac{1}{10000}$≤$\frac{1}{n}$≤$\frac{1}{1001}$时，[lg$\frac{1}{n}$]=-4．
则[lg$\frac{1}{2}$]+[lg$\frac{1}{3}$]+…+[lg$\frac{1}{2017}$]
=（-1）×9+（-2）×90+（-3）×900+（-4）×1017
=-6957，
故原式=4944-6957=-2013．
故答案为：-2013．

点评 本题以新定义为载体，主要考查了对数函数值的基本运算，解题的关键：是对对数值准确取整的计算与理解．