Question

11．已知D是以点A（4，1），B（-1，-6），C（-2，3）为顶点的三角形区域（包括边界及内部）．
（1）写出表示区域D的不等式组；
（2）设点B（-1，-6）、C（-2，3）在直线4x-3y-a=0的异侧，求a的取值范围；
（3）若目标函数z=kx+y（k＜0）的最小值为-k-6，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先分别求出AB，BC，AB的方程，结合二元一次不等式组表示平面区域进行表示，
（2）根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式关系进行求解即可．
（3）根据线性规划的知识建立直线斜率关系进行求解即可．

解答 解：（1）A（4，1），B（-1，-6），C（-2，3）为顶点，
则直线方程AB：$\frac{y-1}{-6-1}=\frac{x-4}{-1-4}$得7x-5y-23=0，
AC：$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-4}{-2-4}$，即x+3y-7=0，
BC：$\frac{y-3}{-6-3}=\frac{x+2}{-1+2}$，即9x+y+15=0，
则对应的不等式组为$\left\{\begin{array}{l}{7x-5y-23≤0}\\{x+3y-7≤0}\\{9x+y+15≥0}\end{array}\right.$．
（2）∵点B（-1，-6）、C（-2，3）在直线4x-3y-a=0的异侧，
∴将点的坐标分别代入得（14-a）（-17-a）＜0，
即（a-14）（a+17）＜0，得-17＜a＜14．
（3）∵z=kx+y（k＜0）的最小值为-k-6，这也是将点B（-1，-6）的坐标代入的结果，
∴B是目标函数的最优解，
∵y=-kx+z，∴0＜-k＜k_AB或k_BC＜-k＜0，（∵k＜0，∴这种情况不存在）
∵k_AB=$\frac{7}{5}$，∴0＜-k＜$\frac{7}{5}$，即-$\frac{7}{5}$＜k＜0．

点评 本题主要考查线性规划的应用，考查学生的运算和作图能力．