Question

20．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，PA⊥平面ABC，点E为线段PB的中点，点M为BC的中点．
（1）求证：平面EOM∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面PCB；
（3）若PA=AB=2，∠CAB=60°，求二面角P-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理得OM∥AC，EM∥PC，由此能证明面EOM∥平面PAC．
（2）推导出AC⊥BC，BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面PCB．
（3）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BC-A的余弦值．

解答 证明：（1）∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为线段PB的中点，点M为BC的中点，
∴OM∥AC，EM∥PC，
∵AC∩PC=C，OM∩EM=M，AC、PC?平面PAC，OM、EM?平面EOM，
∴面EOM∥平面PAC．
（2）∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴AC⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PCB，
∴平面PAC⊥平面PCB．
（3）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，0），P（1，0，2），
$\overrightarrow{CB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（1，0，2），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=x+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-BC-A的平面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角P-BC-A的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查面面平行、面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．