Question

3．某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D（D在平面ABC内），建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？

Answer 1

分析 首先利用正弦定理在△BCD中表示出BD，然后在△ABD中，利用余弦定理求出AD即可．

解答 解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知$\frac{BC}{sin60°}=\frac{BD}{sin（120°-θ）}$，
所以$BD=\frac{sin（120°-θ）}{sin60°}=cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ$，…（4分）
在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos（60°+θ），…（8分）
AD²=${1^2}+{（{cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ}）^2}-2×1×（{cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ}）（{\frac{1}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}）$=$1+\frac{4}{3}{sin^2}θ+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinθcosθ$=$\frac{5}{3}+\frac{4}{3}sin（{2θ-30°}）$…（14分）
当2θ-30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…（16分）

点评 本题考查了解三角形的实际应用；关键是利用两个定理得到三角形的边角关系，进一步解三角形．